\title{金融随机分析}

\subtitle{随机游动及首达时间}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
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\begin{document}

\maketitle
\begin{frame}{目录}
  \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
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  %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
  %    \end{column}
  %\end{columns}
\end{frame}

\section{随机游动}

\begin{frame}[c]{随机游动的定义}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item
      我们反复抛掷一枚均匀（每次抛掷，出现正面和背面的概率都等于 1/2）的硬币，
      其结果记为 $\omega_1\omega_2\omega_3\ldots$.
      设：
      \begin{equation}\label{eq:X_j}
        X_j =
        \begin{cases}
        1, & \text{if } \omega_j = H, \\
        -1, & \text{if } \omega_j = T.
        \end{cases}
      \end{equation}
    \item
      定义 $M_0 = 0$,
      并且：
      \begin{equation}\label{eq:random_walk_symmetric}
        M_n = \sum_{j=1}^{n} X_j, \quad n = 1, 2, \ldots.
      \end{equation}
      过程 $M_n$, $n = 1, 2, \ldots$,
      就是一个 {\bf 对称随机游动}。
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{随机游动的增量}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item
      对于非负整数 $0 = k_0 < k_1 < \ldots < k_m$,
      称随机变量
      \begin{equation}\label{eq:independent_increments}
        (M_{k_1} - M_{k_0}), (M_{k_2} - M_{k_1}), \ldots, (M_{k_m} - M_{k_{m-1}})
      \end{equation}
      为随机游动的增量。
    \item
      上式中的增量是是两两独立的。
    \item
      我们称随机游动具有 {\bf 独立增量}。
  \end{itemize}
\end{frame}

% \begin{frame}[c]{增量的方差}
%   \begin{problem}[]\label{pr:variance_independent_increments}
%     计算 $(M_{k_{i+1}} - M_{k_i})$ 的方差。
%   \end{problem}
% \end{frame}
%
% \begin{frame}[c]{矩母函数}
%   \begin{definition}[]\label{def:moment_generating_function}
%     我们称 $\mathbb{E}[e^{uX}]$ 为随机变量 $X$ 的矩母函数。
%   \end{definition}
% \end{frame}

\section{首达时间}%
\label{sec:shou_da_shi_jian_}

\begin{frame}[c]{首达时间的定义}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 
      给定整数 $m$,
      随机游动首次达到水平 $m$ 的时刻记为 $\tau_m$, 即：
      \begin{equation}\label{eq:first_passage_time}
        \tau_m = \min \{n; M_n = m\}.
      \end{equation}
    \item 
      如果随机游动永远达不到 $m$,
      我们定义 $\tau_m = \infty$.
    \item 
      随机变量 $\tau_m$ 是一个停时，
      称为{\bf 随机游动}关于水平 $m$ 的 {\bf 首达时间}。
  \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{和对称随机游动相关的一个鞅}
  \begin{lemma}[]\label{lem:bookI_5_2_1}
    设 $M_n$ 是一个对称随机游动。给定 $\sigma$ 并定义过程：
    \begin{equation}\label{eq:temp}
    S_n = e^{\sigma M_n}\left( \frac{2}{e^{\sigma}+e^{-\sigma}}\right)^n
    \end{equation}
    则 $S_n$, $n = 0, 1, 2, \ldots$,
    是一个鞅。
  \end{lemma}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{首达时间几乎必然有限}
  \begin{theorem}[]\label{thm:bookI_5_2_2}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 5.2.2.}
    设 $m$ 是任一非零整数。
    对称随机游动几乎必然达到水平 $m$,
    即水平 $m$ 的首达时间 $\tau_m$ 几乎必然有限。
  \end{theorem}
  \bigskip

  证明此定理的关键结论：
  \begin{equation}\label{eq:temp_2}
    \mathbb{E}
    \left[
      \mathbb{I}_{\{\tau_m < \infty \}}
      e^{\sigma m}\left( \frac{2}{e^{\sigma}+e^{-\sigma}}\right)^{\tau_m}
    \right]
    =1.
  \end{equation}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{计算 $ \alpha^{\tau_m}$ 的期望}
  \begin{theorem}[]\label{thm:bookI_5_2_3}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 5.2.3.}
    设 $m$ 是非零整数。
    对称随机游动的首达时间 $\tau_m$ 满足：
    \begin{equation}\label{eq:expectation_alpha_tau_m}
      \mathbb{E}\left[ \alpha^{\tau_m}\right]
      =
      \left( \frac{1 - \sqrt{1-\alpha^2} }{\alpha} \right)^{|m|},
      \quad \forall \alpha\in (0,1).
    \end{equation}
  \end{theorem}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{计算 $\tau_1 = 2j - 1$ 的概率}
  \begin{theorem}[]\label{thm:bookI_5_2_5}
    \footnote{此定理即参考书中的定理 5.2.5.}
    设 $\tau_1$ 是上升概率为 $p$、下降概率为 $q=1-p$ 的随机游动的水平 1
    首达时，则：
    \begin{equation}\label{eq:expectation_alpha_tau_m}
      \mathbb{P}\left[\tau_1 = 2j-1\right]
      =
      \left( \frac{(2j - 2)!}{j!(j-1)!} p^jq^{j-1}\right),
      \quad j=1,2,\ldots
    \end{equation}
  \end{theorem}
\end{frame}
\end{document}
